想要剖析时钟误差的来源，就必须对伽利略的天才设计有足够的了解。

伽利略时钟的动力和传动系统大致可以分为三个部分。

最重要的就是“储能装置”——以李维的理解来说。

伽利略当然尝试过最基础的、使用一米长的摆线、直接拨动摆线供能的秒摆作为时钟。

结果就是无论怎样堆砌材料的性能，最多20分钟，这种基础的秒摆就需要重新将摆线拨动至起始角度，以补充单摆运动损耗的能量。

这样的秒摆放在专门有人看守的钟楼里当然是足够精确的；伽利略也确实使用这样的“母钟”来调校其他“子钟”的精度。

但想要拓展到实际生活应用，如此频密的调校次数和高昂的材料价格显然不切实际。

想要解决这个问题，伽利略需要设计一个能让时钟在无人值守的情况下运行较长时间的装置。

李维曾经提示过伽利略，利用“滑轮实验”来测量重力加速度，比斜坡实验更为直观。

伽利略受此启发，想到的解决方案是，“储存重力势能”——一个滑轮、一条绳索、一个重锤。

只要绳索与滑轮之间的摩擦力足够大，重锤就能以一个极小的加速度（可视为匀速）向下滑落。

再通过绳索连接若干不同齿数的齿轮组，重锤的下落就可以带动齿轮以接近恒定的转速转动。

将重锤向上拉，就可以对整个钟摆系统重新“赋能”。

而为了抵消重锤下落的微小加速度带来的“系统误差”，就需要用到机械钟的另一个装置——棘轮装置。

这种只允许单向摆动的特殊齿轮——来源于达·芬奇的设计——和周期固定的钟摆一起，以恒定的频率，抵消了其他齿轮组在重锤的牵引下作加速运动。

李维听到的“咔嗒咔嗒”声，其实就是棘轮的棘齿叩击表盘齿轮发出的声音。

简而言之，重锤才是机械时钟的动力来源，棘轮与单摆组成的系统负责校正时钟的精度。

机械钟的所有误差，就蕴藏在它的设计原理之中。

“我这次带出来的实验钟，每七天一次，需要将重锤拉回以补充动力。”

“在极西冰原，它的误差是每天要慢个20到30分钟；但在日瓦丁，它的误差已经达到了25到31分钟每天。”

伽利略说着打开座钟的外壳，将金属制作的摆线向上收缩了一截。

“根据我归纳出的单摆周期公式，想要校正这种误差，最便捷的方法就是改变摆长。”

“这让我陷入了更深的困扰，”伽利略的手指抚过表盘，“G如果真的是一个常数的话，又是什么导致了在不同地区和纬度下，它的数值波动。”

伽利略从怀中掏出一颗铁球，有些缅怀地笑了笑：

“当年我曾经证明过，两颗不同重量的铁球必将同时落地——这为我的人生带来了几乎是灭顶之灾。”

“现在，摆在我面前的另一个灾难是，”伽利略颇有些自嘲精神，“同一颗铁球，在大陆的最北方和最南方，同一高度下，落地的时间是否有差异？”

“当然，李维子爵想必已经猜到了，以高空坠物的速度之快，即使是眼下的时钟精度，也无法通过实验来论证我的猜想。”

伽利略摆出四根手指，冲李维示意道：

“这就是眼下几何与算术的四大难题之一——运动中速度与距离的互求问题。”

……

经过前段时间在路上的恶补，李维也知道了这片大陆上数学发展的瓶颈所在；也就是伽利略所说的“四大难题”。

其一是“曲线的切线问题”。

这是一个纯几何的问题，多应用于时下的天文学、航海、宝石切割工艺等领域。

也因为如此，它被誉为是当下“最赚钱的数学问题”。

李维当初捣鼓出的三角函数的几何证明，其实就是这一问题的转换。

其二是“求不规则的长度、面积、体积、与重心问题等”。

这个无需赘言，从马车轮到板甲的人体工程学原理再到拱桥与城堡，人类生活的方方面面都是对这一问题的近似求解。

其三是“最大值与最小值问题”。

这个问题来源于精灵使用的“月相历法”，最初是为了估测月亮、太阳与地面的距离。

人类兴起之后，这个问题逐步被拓展到了弩炮的最大射程、巨龙的飞行高度估测、魔法的极限释放距离等大规模杀伤性领域。

时至今日，这个问题深陷于“无穷大、无穷小”的概念窠臼中无法自拔——尤利娅提到过的“绝对零度猜想”也是这一问题在温度上的拓展。

不同派系的法师之间对此争执不休、大打口水仗，惨烈程度不亚于教会的正统之争。

其四，就是伽利略眼下的困境所在，“运动中速度与距离的互求问题”。

伽利略已经通过了实验论证了“a=gsinθ-μgcosθ”、“△s=2gt^2”以及“T=2π√(L\/g)”作为经验公式的可行性。

而将这些经验公式转换为理论公式，伽利略还欠缺了最重要的数学工具——牛顿与莱布尼茨微积分方程。

牛顿之所以能构建经典力学体系，跟砸中他脑袋的苹果不一定有关系，但跟他是个出色的数学家有必然联系。

李维也不指望一颗苹果就能让伽利略当场顿悟，他提供的解决方案是……

“《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无穷量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。”

伽利略磕磕绊绊地读完书名，苦笑着抬头看向李维：

“你非要起这么长的名字吗？”

李维撇撇嘴，诚心实意地回道：

“这是莱布尼茨先生的著作原名，我只是给它翻译了一下。”

“你说的这个莱布尼茨，是不是别名李维·谢尔弗？”

伽利略是知道李维有给自己的论文署假名的怪癖的。

“我说真不是，伽利略先生你信吗？”

李维挠了挠下巴，有些无奈。

伽利略笑而不语，乐呵呵地翻开了这本名字挤满了封面的奇特书籍。

随后，他的笑容就僵在了脸上。

「好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一……」

「我将加洛林语中的“差值d”、“总和S”与“变量x”定义为数学意义的基本单元，“dx”定义为自变量“x”的无限可分，即“微分”……」

「任何几何上的穷尽法推导，都可以转换为算术上的极限推导……」

「“积分”是“微分”的逆运算……」

「数学不应当分为几何与算术，而应当分为普遍性和特殊性……」

……

表盘上的时针落在了刻度“5”的正上方，日暮西垂，马车里的光线也终于暗淡了下去。

伽利略有些失态地捏紧了李维的肩膀，鼻翼翕动，语气急促，一双眼睛亮得有些瘆人：

“后面呢？关于极限收敛的充分与必要性的推导论证在哪里？！”

「很抱歉，这个我大学没学过，或者学了也没注意听。」

李维心中腹诽，龇牙咧嘴地拍开伽利略搭在自己肩膀上的手：

“很遗憾，伽利略先生，我并非全知全能。”

伽利略松开手，坐了回去，看向李维的眼神充满遗憾。

此刻伽利略多么希望李维发挥自己一贯的本色，来上一句“接下来的内容需要伽利略先生您付费获取”，而不是“我也不知道”。

“我总感觉你在想一些很失礼的事，伽利略先生。”

李维敏锐地察觉了伽利略目光中的内涵。

伽利略深深地叹了口气，平复好心情，望向李维：

“这篇论文，我并不建议挂在我的名下发表。”

“纯数术的理论推导并非我的长项，我的自尊也不允许我窃取这样崇高的声望。”

“当然，可以理解，”李维点点头，“您在学术上的操守是我和谢尔弗家族对您信赖的坚实基础。”

“我授权您可以在有关自由落体运动的论文中引用这些数学理论和符号。”

伽利略当然是求之不得，稍微思索了一会儿，沉吟道：

“但这些理论的研究很难产生实际的收益，公平起见，我愿意在时钟的收益上再让步一成。”

不等李维作答，伽利略又以迅雷不及掩耳之势取出了一份材料清单：

“这是实验钟表的具体花费。”

「高纯度黄铜打造的机芯……精金打造的耐磨齿轮……蓝宝石制作的棘轮齿……几乎没有延展性的铸铁摆线……高透明度的玻璃……雪地巫师议会的二十八项专利授权……一个长效维持的反魔法法阵……」

「……总计花费以购买力折算，大约35000枚金币。」

李维揉了揉眼睛，又数了一遍……

嗯，是三个0不是两个0。

伽利略有些心虚，眼神躲闪：

“这些都是一次性的花费，接下来的批量制作，根据精度不同，我有把握将成本控制在50到2000金币的范围内。”

“而且，我们在议会里发表的论文收益可以抵扣一部分专利收购价格；以我的声誉，议会支持分期还款。”

李维痛苦地捂住额头，破罐子破摔地发问道：

“那么，伽利略先生，您能告诉我，我在议会的账户余额是？”

“众所周知，时间是无价的，李维先生。”

伽利略只觉得自己毕生的口才在这一刻达到了巅峰。

“那么，伽利略先生，看在这35000枚金币的份上，”李维着重了语气，“您能否陪我去见一个人？”

“请说。”

伽利略尴尬地咳嗽了一声。

李维的手指划过怀里的圣米歇尔大街的图纸：

“您和我的父亲在极西冰原打过照面的，斯瓦迪亚剑圣，尤涅若·柯林斯。”